求解厚壁桶问题的应力分量

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Oct 22, 2023 11:41 AM

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Oct 22, 2023 02:57 AM

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如图所示的厚壁圆桶，内半径为a，外半径为b，在内表面受均匀分布的内压的作用，在外表面受均匀分布的内压的作用，求解其应力分量

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首先列出其极坐标下平衡方程，几何方程和物理方程

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厚壁桶问题属于平面轴对称问题：

受力情况关于中心轴z对称,任一环向线上的各点，应力分量的数值相等，方向关于z轴对称

应力只与有关，与无关，应力分量仅为的函数，不随的变化而变化

只受正应力而不受剪应力，由于应力分布轴对称，因此剪应力

应变分量仅为r的函数

只有径向位移,没有环向位移

剪应变

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变换上述方程组为：

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对（2）式中进行求导，可得

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类比公式（1）刚好可得变形协调方程：

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把（3）式代入（4）式得到已应力分量表示的变形协调方程：

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对（1）式进行变换，使用表示,并对求导得：

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把（6）（7）式代入（5）式得：

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解此微分方程得:

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联立（1）式得：

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由（2）式得：

由此可得厚壁桶问题的应力分量为:

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对图中所示的厚壁桶，分析其边界条件：

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代入应力分量的表达式（8）得

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解得：

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将和代入（8）式得此厚壁桶的应力分量为：

由此可得厚壁桶问题的应力分量为:

当厚壁圆筒仅受均匀内压作用时（）时：

当厚壁圆筒仅受均匀外压作用时（）时：